کاربرد مشتقات

شما می خواهید پرتاب موشک را ضبط کنید، بنابراین دوربین خود را روی سه پایه قابل اعتماد خود قرار می دهید و همه چیز را برای ضبط این رویداد تنظیم می کنید. حالا فقط یک سوال باقی می ماند: زاویه دوربین شما با زمین چقدر باید تغییر کند تا بتواند موشک را در حین پرواز در دید نگه دارد؟

از آنجایی که پرتاب یک موشک شامل دو کمیت مرتبط است که در طول زمان تغییر می‌کنند، پاسخ به این سوال متکی به استفاده از مشتقاتی است که به عنوان نرخ‌های مرتبط شناخته می‌شوند. در این مقاله، برخی از کاربردهای فراوان مشتقات و نحوه استفاده از آنها در محاسبات، مهندسی و اقتصاد را کشف خواهید کرد.

کاربرد مشتقات در حساب دیفرانسیل و انتگرال

توانایی حل مسئله نرخ های مرتبط که در بالا مورد بحث قرار گرفت، تنها یکی از بسیاری از کاربردهای مشتقاتی است که در حساب دیفرانسیل و انتگرال یاد می گیرید. همچنین خواهید آموخت که چگونه از مشتقات برای موارد زیر استفاده می شود:

خطوط مماس و معمولی را بر روی یک منحنی پیدا کنید و

مقادیر حداکثر و حداقل را پیدا کنید.

سپس می‌توانید از این تکنیک‌ها برای حل مسائل بهینه‌سازی، مانند به حداکثر رساندن یک منطقه یا به حداکثر رساندن درآمد استفاده کنید.

علاوه بر این، خواهید آموخت که چگونه مشتقات را می توان در موارد زیر اعمال کرد:

حل محدودیت های پیچیده،

تقریب بسازید و

برای دادن نمودارهای دقیق

کاربرد مشتقات: خطوط مماس و عادی

مشتقات ابزار بسیار مفیدی برای یافتن معادلات خطوط مماس و خطوط عادی بر یک منحنی هستند.

استفاده از مشتق برای یافتن خطوط مماس و عادی بر یک منحنی.

خطوط مماس بر یک منحنی

خط مماس بر منحنی خطی است که منحنی را فقط در یک نقطه لمس می کند و شیب آن مشتق منحنی در آن نقطه است.

برای پیدا کردن خط مماس بر یک منحنی در یک نقطه داده شده (مانند نمودار بالا)، مراحل زیر را دنبال کنید:

1. با توجه به یک نقطه و یک منحنی، شیب را با مشتق منحنی داده شده پیدا کنید.
   • نقطه داده شده این است: \[ (2، 4) \]
   • منحنی داده شده عبارت است از: \[ f(x) = x^ \]
   • مشتق منحنی داده شده عبارت است از: \[ f'(x) = 2x \]
2. مختصات \( x \) نقطه داده شده را به مشتق وصل کنید تا شیب را پیدا کنید.\[ \beginf'(x) &= 2x \\f'(2) &= 2(2) \\ &= 4\\ &= m.\ پایان \]
3. از شکل شیب نقطه یک خط برای نوشتن معادله استفاده کنید.\[ \beginy-y_1 &= m(x-x_1) \\y-4 &= 4(x-2) \\y &= 4(x-2) +4 \\ &= 4x - 4.\پایان \]

برای اطلاعات بیشتر و مثال هایی در مورد این موضوع، به مقاله ما در مورد خطوط مماس مراجعه کنید.

خطوط عادی به یک منحنی

خط معمولی منحنی عمود بر خط مماس است. شما از خط مماس بر منحنی برای پیدا کردن خط نرمال منحنی استفاده می کنید. شیب خط عادی:

برای پیدا کردن خط معمولی یک منحنی در یک نقطه داده شده (مانند نمودار بالا)، مراحل زیر را دنبال کنید:

1. مانند مثال بالا، خط مماس بر منحنی را در نقطه داده شده پیدا کنید.
   • خط مماس بر منحنی است: \[ y = 4(x-2)+4 \]
2. برای یافتن شیب خط نرمال از شیب خط مماس استفاده کنید.
   • شیب خط عادی به منحنی است:\[ \beginn &= - \frac\
3. &= - \frac\end \]

از شکل شیب نقطه یک خط برای نوشتن معادله استفاده کنید.\[ \beginy-y_1 &= n(x-x_1) \\y-4 &= - \frac(x-2) \\y &= - \frac(x-2)+4\end \]

کاربرد مشتقات: نرخ های مرتبط

در بسیاری از سناریوهای دنیای واقعی، مقادیر مرتبط با توجه به زمان تغییر می‌کنند. اگر دوباره به پرتاب موشک فکر کنید، می‌توانید بگویید که میزان تغییر ارتفاع موشک، \(h\)، به سرعت تغییر زاویه دوربین شما با زمین، \( \theta\) مربوط می‌شود. در این مورد، شما می گویید \( \frac \) و \( \frac \) نرخ های مرتبط هستند زیرا \( h \) با \( \theta \) مرتبط است.

در مشکلات مربوط به نرخ های مرتبط ، شما مقادیر مرتبط را که با توجه به زمان تغییر می کنند ، مطالعه می کنید و یاد می گیرید که اگر به شما نرخ دیگری تغییر داده شود ، یک نرخ تغییر را محاسبه کنید.

1. استراتژی: حل مشکلات مربوط به نرخ های مرتبط
2. نمادها را به تمام متغیرهای موجود در مشکل اختصاص دهید و اگر منطقی باشد مشکل را ترسیم کنید.
3. از نظر متغیرهایی که تازه به آن اختصاص داده اید ، اطلاعاتی را که داده می شود و میزان تغییر مورد نیاز برای یافتن آن را بیان کنید.
4. معادله ای پیدا کنید که متغیرهای شما را مرتبط کند.
   • با استفاده از قانون زنجیره ای ، مشتق این معادله را با توجه به متغیر مستقل بگیرید.
5. معادله جدید مربوط به مشتقات است.

تمام مقادیر شناخته شده را در مشتق جایگزین کنید و میزان تغییر مورد نیاز برای یافتن را حل کنید.

بسیار مهم است که خیلی زود ارزشهای شناخته شده را جایگزین نکنید. اگر قبل از مشتق مقادیر شناخته شده را جایگزین کنید ، مقادیر جایگزین به عنوان ثابت رفتار می کنند و مشتقات آنها در معادله جدیدی که در مرحله 4 پیدا می کنید ظاهر نمی شوند.

مقالات مختلف زیادی در مورد نرخ های مرتبط وجود دارد ، از جمله نرخ تغییر ، حرکت در طول یک خط ، تغییر جمعیت و تغییر در هزینه و درآمد.

استفاده از مشتقات: تقریبی خطی و دیفرانسیل

وقتی صحبت از توابع می شود ، توابع خطی یکی از موارد ساده تر برای کار با آن هستند. بنابراین ، آنها ابزاری مفید برای تقریب مقادیر سایر کارکردها را به شما ارائه می دهند. شما بعداً می توانید در هنگام مطالعه توالی ها و سریال ها ، به طور خاص هنگام مطالعه سری های قدرت ، این کاربرد مشتقات را نیز انجام دهید.

مفاهیم و معادلات کلیدی تقریبی و دیفرانسیل ها عبارتند از:

یک تابع متفاوت ، \ (y = f (x) \) ، می تواند در یک نقطه ، \ (a \) ، با عملکرد تقریبی خطی تقریب شود:

با توجه به یک تابع ، \ (y = f (x) \) ، اگر به جای تعویض \ (x \) با \ (a \) ، \ (x \) را با \ (a + dx \) جایگزین کنید ، سپسدیفرانسیل :

تقریب برای تغییر در \ (y \) است.

با این حال ، تغییر واقعی در \ (y \):

\ [\ delta y = f (a+dx) - f (a).\]

خطای اندازه گیری \ (dx \) می تواند منجر به خطایی در مقدار \ (f (x) \) شود. این به عنوان خطای پخش شده شناخته می شود ، که توسط:< \Delta q>. \]

برای برآورد خطای نسبی یک مقدار (\ (q \)) استفاده می کنید: \ [\ frac

برای اطلاعات بیشتر در مورد این موضوع ، به مقاله ما در مورد میزان فرمول تغییر مراجعه کنید.

استفاده از مشتقات: ماکسیما و حداقل

یکی از متداول ترین کاربردهای مشتقات ، یافتن مقادیر شدید یا حداکثر و حداقل یک عملکرد است. پس از یادگیری روشهای یافتن مقادیر شدید (که به طور جمعی به عنوان افراطی نیز شناخته می شود) ، می توانید این روش ها را در برنامه های بعدی مشتقات مانند ایجاد نمودارهای دقیق و حل مشکلات بهینه سازی اعمال کنید.

اصطلاحات و مفاهیم کلیدی ماکسیما و مینیما عبارتند از:

افراطی

اگر یک تابع ، \ (f \) دارای حداکثر حداکثر یا مطلق در نقطه \ (c \) باشد ، پس می گویید که عملکرد \ (f \) دارای یک افراط مطلق در \ (c \) است.

حداکثر حداکثر / مطلق

اگر \ (f (c) \ geq f (x) \) برای همه \ (x \) در دامنه \ (f \) ، پس می گویید که \ (f \) حداکثر مطلق در \ (c \).

حداقل حداقل / حداقل مطلق

اگر \ (f (c) \ leq f (x) \) برای همه \ (x \) در دامنه \ (f \) ، پس می گویید که \ (f \) حداقل در \ (c \) دارای حداقل مطلق است.).

افراطی

اگر یک تابع ، \ (f \) دارای حداکثر محلی یا دقیقه در نقطه \ (c \) باشد ، می گویید که \ (f \) دارای یک افراط محلی در \ (c \) است.

حداکثر حداکثر / محلی محلی

اگر یک فاصله وجود داشته باشد ، \ (i \) ، به گونه ای که \ (f (c) \ geq f (x) \) برای همه \ (x \) در \ (i \) ، شما می گویید که \ (f \)حداکثر محلی در \ (C \) دارد.

حداقل حداقل محلی / محلی

اگر یک فاصله وجود داشته باشد ، \ (i \) ، به گونه ای که \ (f (c) \ leq f (x) \) برای همه \ (x \) در \ (i \) ، شما می گویید که \ (f \)دارای یک دقیقه محلی در \ (C \) است.

نقطه بحرانی

بر اساس تعاریف فوق ، نقطه \ ((c ، f (c)) \) یک نقطه مهم از عملکرد \ (f \) است.

تعداد بحرانی

اگر \ (f '(c) = 0 \) یا \ (f' (c) \) تعریف نشده باشد ، شما می گویید که \ (c \) یک شماره مهم از عملکرد \ (f \) است.

قضیه ارزش افراطی

اگر عملکرد \ (f \) بیش از یک فاصله محدود و بسته باشد ، سپس \ (f \) حداکثر مطلق و یک حداقل مطلق دارد.

قضیه

اگر یک تابع \ (f \) دارای یک افراط محلی در نقطه \ (c \) باشد ، سپس \ (c \) یک نقطه مهم از \ (f \) است.

برای یک عملکرد امکان پذیر است:

هم حداکثر مطلق و هم یک حداقل مطلق ،

فقط یک افراطی مطلق ، یا

هیچ افراطی مطلق ندارند.

اگر یک تابع دارای یک افراط محلی باشد ، نقطه ای که در آن رخ می دهد باید یک نقطه مهم باشد.

با این حال ، یک تابع لزوماً در یک نقطه بحرانی یک افراط محلی ندارد.

یک عملکرد مداوم در یک بازه بسته و محدود دارای حداکثر مطلق و یک حداقل مطلق است.

هر افراطی در یک نقطه بحرانی یا یک نقطه پایانی عملکرد رخ می دهد.

برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد حداکثر و حداقل ، مشکلات حداکثر و حداقل و حداکثر مطلق و حداقل را ببینید.

استفاده از مشتقات: قضیه میانگین ارزش

یکی از مهمترین قضیه های حساب و کاربرد مشتقات ، میانگین قضیه ارزش (گاهی به اختصار MVT) است. مانند برنامه قبلی ، MVT چیزی است که بعداً از آن استفاده خواهید کرد و ساخته خواهید شد.

مفاهیم کلیدی قضیه میانگین ارزش عبارتند از:

تعریف MVT

اگر یک تابع ، \ (f \) ، در فاصله بسته \ ([a ، b] \) مداوم باشد و در فاصله باز \ ((a ، b) \) متفاوت باشد ، پس یک نقطه \ (c \ وجود دارد.) در فاصله باز \ ((a ، b) \) به گونه ای که

مورد ویژه MVT که به قضیه رول معروف است

اگر یک تابع ، \ (f \) ، در فاصله بسته \ ([a ، b] \) مداوم باشد ، در فاصله باز \ ((a ، b) \) متفاوت باشد ، و اگر \ (f (a) =f (b) \) ، سپس یک نقطه \ (c \) در فاصله باز \ ((a ، b) \) وجود دارد که

نتیجه قضیه میانگین ارزش

توابع با مشتق صفر

بگذارید \ (f \) در یک بازه \ (i \) متفاوت باشد. اگر \ (f '(x) = 0 \) برای همه \ (x \) در \ (i \) ، سپس \ (f' (x) = \) ثابت برای همه \ (x \) در \ (i \).

قضیه تفاوت مداوم

اگر توابع \ (f \) و \ (g \) در یک بازه \ (i \) و \ (f '(x) = g' (x) \) برای همه \ (x \) در \ متفاوت باشند.(i \) ، سپس \ (f (x) = g (x) + c \) برای مقداری ثابت \ (c \).

عملکردهای در حال افزایش و کاهش

If \( f'(x) >بگذارید \ (f \) در فاصله بسته \ ([a ، b] \) مداوم باشد و از فاصله باز \ ((a ، b) \) متفاوت باشد.

0 \) برای همه \ (x \) در \ ((a ، b) \) ، سپس \ (f \) یک عملکرد در حال افزایش است ([a ، b] \).

استفاده از مشتقات: مشتقات و شکل نمودار

با تکیه بر کاربردهای مشتقات برای یافتن حداکثر و حداقل و قضیه میانگین ارزش ، اکنون می توانید تعیین کنید که آیا یک نقطه مهم از یک تابع با یک مقدار شدید محلی مطابقت دارد یا خیر. اما در مورد شکل نمودار عملکرد چیست؟خوب ، این برنامه به شما می آموزد که چگونه از مشتقات اول و دوم یک تابع استفاده کنید تا شکل نمودار آن را تعیین کنید.

مفاهیم کلیدی مشتقات و شکل نمودار عبارتند از:

اولین آزمون مشتق

یک تابع بگویید ، \ (f \) ، در فاصله زمانی \ (i \) مداوم است و حاوی یک نقطه بحرانی ، \ (c \) است. اگر \ (f \) نسبت به \ (i \) قابل تفاوت باشد ، به جز احتمالاً در \ (c \) ، سپس \ (f (c) \) یکی از موارد زیر را برآورده می کند:< c \) to negative when \( x >اگر \ (f '\) تغییر کند از مثبت هنگام \ (x

c \) ، سپس \ (f (c) \) حداکثر محلی \ (f \) است.< c \) to positive when \( x >اگر \ (f '\) تغییر کند از منفی هنگام \ (x

c \) ، سپس \ (f (c) \) یک دقیقه محلی \ (f \) است.< c \) and \( x >اگر \ (f '\) همان علامت را برای \ (x

c \) ، سپس \ (f (c) \) نه حداکثر محلی یا یک دقیقه محلی \ (f \).

آزمون داوطلبان

این روشی برای یافتن حداکثر مطلق و حداقل مطلق عملکرد مداوم است که در یک بازه بسته تعریف شده است. این شامل موارد زیر است:

تمام افراط و تفریط نسبی عملکرد را پیدا کنید.

عملکرد را در مقادیر شدید دامنه آن ارزیابی کنید.

نتایج مراحل 1 و 2 را از حداقل به بزرگترین سفارش دهید.

کمترین ارزش حداقل جهانی است.

بیشترین ارزش حداکثر جهانی است.

آزمون برای مقعر

If \( f''(x) >اگر \ (f \) تابعی است که دو بار در یک بازه \ (i \) متفاوت است ، پس:

0 \) برای همه \ (x \) در \ (i \) ، سپس \ (f \) نسبت به \ (i \) مقعر است.

If \( f''(c) >فرض کنید \ (f '(c) = 0 \) ، \ (f' '\) در فاصله ای که حاوی \ (c \) است ، مداوم است.

0 \) ، سپس \ (f \) یک دقیقه محلی در \ (c \) دارد.

اگر \ (f '' (c) = 0 \) ، آزمون بی نتیجه است.

شما باید \ (f '(x) \) را در یک نقطه تست \ (x \) در سمت چپ \ (c \) و یک نقطه آزمایش \ (x \) در سمت راست \ (c \) ارزیابی کنید. اگر \ (f \) دارای یک افراط محلی در \ (c \) باشد.

استفاده از مشتقات: محدودیت در بی نهایت و بدون علامت

هنگامی که مشتقات و شکل یک نمودار را درک کردید ، می توانید بر روی آن دانش ایجاد کنید تا تابعی را که در یک دامنه بی حد و مرز تعریف شده است ، نمودار کنید. برای انجام این کار ، باید رفتار عملکرد را به عنوان \ (x \ to \ pm \ infty \) بدانید. این کاربرد مشتقات محدودیت هایی را در بی نهایت تعریف می کند و توضیح می دهد که چگونه محدودیت های نامتناهی بر نمودار یک عملکرد تأثیر می گذارد.

اصطلاحات و مفاهیم کلیدی محدودیت در Infinity و بدون علامت عبارتند از:

رفتار پایان

رفتار عملکرد ، \ (f (x) \) ، به عنوان \ (x \ to \ pm \ infty \).

بدون علامت افقی

اگر \ (\ lim_ f (x) = l \) ، سپس \ (y = l \) یک علامت افقی از عملکرد \ (f (x) \) است.

حد بی نهایت در بی نهایت

عملکرد \ (f (x) \) بزرگتر و بزرگتر می شود زیرا \ (x \) نیز بزرگتر و بزرگتر می شود.

محدود کردن در بی نهایت

مقدار محدود کننده ، در صورت وجود ، از یک تابع \ (f (x) \) به عنوان \ (x \ to \ pm \ infty \).

بدون علامت مورب

خط \ (y = mx + b \) ، اگر \ (f (x) \) به آن نزدیک شود ، به عنوان \ (x \ to \ pm \ infty \) یک مجانب مورب عملکرد \ (f (x) \ است.).

حد تابع \ (f (x) \) \ (l \) به عنوان \ (x \ to \ pm \ infty \) است اگر مقادیر \ (f (x) \) به \ نزدیکتر شوند (l \) همانطور که \ (x \) بزرگتر و بزرگتر می شود.

حد عملکرد \ (f (x) \) \ (\ infty \) به عنوان \ (x \ to \ infty \) است اگر \ (f (x) \) بزرگتر و بزرگتر شود ((x \)بزرگتر و بزرگتر می شود.

برای عملکرد چند جمله ای \ (p (x) = a_x^ + a_x^ + \ ldots + a_x + a_ \) ، جایی که \ (a_ \ neq 0 \) ، رفتار نهایی با اصطلاح پیشرو تعیین می شود: \ (a_x^\)

اگر \ (n \ neq 0 \) ، سپس \ (p (x) \) در هر انتهای عملکرد به \ (\ pm \ infty \) نزدیک می شود.

برای عملکرد منطقی \ (f (x) = \ frac \) ، رفتار پایان با رابطه بین درجه (p (x) \) و درجه \ (q (x) \) تعیین می شود.

If the degree of \( p(x) \) is equal to the degree of \( q(x) \), then the line \( y = \frac>>اگر درجه \( p(x) \) از درجه \( q(x) \) کمتر باشد، خط \( y = 0 \) یک مجانب افقی برای تابع گویا است.

\، که در آن \( a_ \) ضریب پیشرو \( p(x) \) و \( b_ \) ضریب پیشرو \( q(x) \) است، یک مجانب افقی برای تابع گویا است..

اگر درجه \( p(x) \) از درجه \( q(x) \) بزرگتر باشد، تابع \( f(x) \) به \( \infty \) یا \( - نزدیک می شود.\infty \) در هر انتها.

کاربرد مشتقات: مسائل بهینه سازی

در ادامه کار بر روی کاربردهای مشتقاتی که تاکنون آموخته اید، مسائل بهینه سازی یکی از رایج ترین کاربردها در حساب دیفرانسیل و انتگرال است. اینها به عنوان مسائل حساب دیفرانسیل و انتگرال تعریف می شوند که می خواهید برای حداکثر یا حداقل مقدار یک تابع حل کنید.

1. استراتژی: حل مسائل بهینه سازی
   1. همه متغیرها را معرفی کنید.
   1. اگر منطقی است، یک شکل بکشید و همه متغیرهای خود را برچسب بزنید.
   1. تعیین کنید که برای چه محدوده ای از مقادیر متغیرهای دیگر (اگر در این زمان قابل تعیین باشد) باید کمیت خود را به حداکثر یا حداقل برسانید.
   1. این فرمول به احتمال زیاد شامل بیش از یک متغیر خواهد بود.
   1. از این معادلات برای نوشتن کمیتی که باید حداکثر یا کمینه شود به عنوان تابعی از یک متغیر استفاده کنید.
   1. مطمئن شوید که مشکل فیزیکی را حل شده در نظر می گیرید.

   این مرحله معمولاً شامل جستجوی نقاط بحرانی و ارزیابی یک تابع در نقاط پایانی است.

   کاربرد مشتقات: قانون L'Hôpital

   قانون L'Hôpital که ابزاری قدرتمند برای ارزیابی حدود است، کاربرد دیگری از مشتقات در حساب دیفرانسیل و انتگرال است. این برنامه از مشتقات برای محاسبه محدودیت هایی استفاده می کند که در غیر این صورت یافتن آنها غیرممکن است. این حدود در اشکال نامعین نامیده می شود.

   اصطلاحات و مفاهیم کلیدی قانون L’Hôpital عبارتند از:<\infty><\infty>هنگام ارزیابی یک محدودیت، فرم های \[ \frac، \ \frac را تشکیل می دهند< and >1^ <\infty>, \ 0 \cdot \infty, \ \infty - \infty, \ 0^, \ \infty^, \ \mbox

   \] همگی فرم‌های نامشخص در نظر گرفته می‌شوند، زیرا باید بیشتر تحلیل کنید (یعنی با استفاده از قانون L’Hôpital) که آیا محدودیت وجود دارد یا خیر و اگر چنین است، مقدار آن چقدر است.

   قانون L’Hôpital< and >اگر دو تابع، \(f(x) \) و \(g(x) \)، توابع قابل تمایز در بازه \(a \) باشند، به جز در \(a \) و \[ \lim_ f(x) = 0 = \lim_ g(x) \] یا \[ \lim_ f(x) \mbox< are infinite, >\lim_ g(x) \mbox

   \] سپس \[ \lim_ \frac = \lim_ \frac، \] با فرض اینکه حد شامل \( f'(x) \) و \( g'(x) \) وجود دارد یا \( \pm \infty است\).<\infty> <\infty>\).

   می‌توانید از قانون L'Hôpital برای ارزیابی حد یک ضریب زمانی که به یکی از شکل‌های نامشخص \( \frac, \\frac است استفاده کنید.<\infty> <\infty>\).

   همچنین می‌توانید از قانون L’Hôpital روی سایر اشکال نامشخص استفاده کنید، اگر بتوانید آنها را بر حسب حدی که شامل یک ضریب است بازنویسی کنید، زمانی که در هر یک از شکل‌های نامشخص \( \frac, \ \frac باشد.

   کاربرد مشتقات: روش نیوتن

   در بسیاری از کاربردهای ریاضی، شما باید صفرهای توابع را پیدا کنید. متأسفانه، محاسبه صریح صفرهای این توابع معمولاً بسیار دشوار است - اگر غیرممکن نباشد. روش نیوتن در این موقعیت ها باعث صرفه جویی در روز می شود زیرا تکنیکی است که در تقریب صفرهای توابع کارآمد است.

   اصطلاحات و مفاهیم کلیدی روش نیوتن عبارتند از:

   فرآیند تکرار شونده

   فرآیندی که در آن لیستی از اعداد مانند \[ x_, x_, x_, \ldots \] با شروع با عدد \( x_ \) و سپس تعریف \[ x_ = F \left( x_

   ight) \] تولید می‌شود. برای \( n . \]

   eq 1 \).

   روش نیوتن

   روشی برای تقریب ریشه های \(f(x) = 0 \). از حدس اولیه \( x_ \) استفاده می کند. هر تقریب بعدی با معادله \[ x_ = x_ - \frac تعریف می شود.

   روش نیوتن ریشه های \(f(x) = 0 \) را با شروع با تقریب اولیه \(x_\) تقریب می زند. از آنجا، از خطوط مماس بر نمودار \( f(x) \) برای ایجاد دنباله ای از تقریب های \( x_1, x_2, x_3, \ldots \) استفاده می کند.

   اشکالات روش نیوتن:

   این روش زمانی که لیست اعداد \( x_1, x_2, x_3, \ldots \) به یک مقدار محدود نزدیک نشود یا

   وقتی به مقداری غیر از ریشه مورد نظر شما نزدیک می شود.

   هر فرآیندی که در آن لیستی از اعداد \( x_1, x_2, x_3, \ldots \) با تعریف یک عدد اولیه \( x_ \) و تعریف اعداد بعدی با معادله \[ x_ = F \left( x_ \) تولید می‌شود. راست) \] برای \( n

   eq 1 \) یک فرآیند تکراری است.

   روش نیوتن مثالی از یک فرآیند تکراری است که در آن تابع \[F(x) = x - \left[ \frac

   ight] \] برای یک تابع معین از \(f(x) \) است.

   کاربرد مشتقات: ضد مشتقات

   پس از بررسی تمام کاربردهای مشتقات بالا، اکنون ممکن است از خود بپرسید: در مورد چرخش فرآیند مشتق چیست؟اگر تابع \( f(x) \) داشته باشم و باید تابعی را پیدا کنم که مشتق آن \(f(x) \) باشد چه؟این چه کاربردی دارد؟

   برای پاسخ به این سوالات، ابتدا باید آنتی مشتق ها را تعریف کنید.

   پاد مشتق تابع \(f\) تابعی است که مشتق آن \(f\) باشد.

   یکی از مثال‌های بسیاری که در آن شما به یک ضد مشتق یک تابع علاقه دارید، مطالعه حرکت است.

   اصطلاحات و مفاهیم کلیدی ضد مشتقات عبارتند از:

   ضد مشتق

   یک تابع \( F(x) \) به گونه‌ای که \(F'(x) = f(x) \) برای همه \(x\) در دامنه \(f\) پاد مشتق \(f\) باشد.).< with the initial condition >کلی ترین پاد مشتق تابع \(f(x) \) انتگرال نامعین \(f\) است. نماد \[ \int f(x) dx \] نشان‌دهنده انتگرال نامعین \(f(x) \) است.

   مشکل ارزش اولیه

   مشکلی که از شما می‌خواهد تابع \( y \) را پیدا کنید که معادله دیفرانسیل \[ \frac = f(x) \] را همراه با شرط اولیه \[ y(x_) = y_ برآورده کند.\]

   اگر تابع \( F \) پاد مشتق تابع دیگر \( f \) باشد، هر پاد مشتق \( f \) به شکل \[ F(x) + C \] برای مقداری ثابت \( C \) است.).

   حل مسئله مقدار اولیه \[ \frac = f(x), \mbox

   y(x_) = y_ \] از شما می خواهد:

   ابتدا مجموعه ضد مشتقات \( f \) را پیدا کنید و سپس

   به دنبال ضد مشتق خاصی باشید که شرایط اولیه را نیز برآورده کند.

   کاربرد مشتقات در مهندسی

   کاربرد مشتقات در مهندسی واقعاً بسیار گسترده است. برای دست زدن به این موضوع، ابتدا باید بدانید که انواع مختلفی از مهندسی وجود دارد. چندتا را نام بردن؛

   همه این رشته های مهندسی از حساب دیفرانسیل و انتگرال استفاده می کنند. همه آنها از برنامه های مشتقات به روش خود برای حل مشکلات خود استفاده می کنند.

   مثالی که در بین چندین رشته مهندسی رایج است، استفاده از مشتقات برای مطالعه نیروهای وارد بر یک جسم است. برای مثال،

   مهندسان مکانیک می توانند نیروهای وارد بر یک ماشین (یا حتی درون ماشین) را مطالعه کنند.

   مهندسان عمران می توانند نیروهایی را که روی یک پل عمل می کنند مطالعه کنند.

   مهندسان صنایع می توانند نیروهایی را که روی یک گیاه اثر می گذارند مطالعه کنند.

   مهندسان هوافضا می توانند نیروهایی را که روی یک موشک عمل می کنند مطالعه کنند.

   در هر مورد، برای مطالعه نیروهایی که بر اجسام مختلف یا در موقعیت‌های مختلف وارد می‌شوند، مهندس باید از کاربردهای مشتقات (و خیلی بیشتر) استفاده کند.

   کاربردهای مشتقات در اقتصاد

   حتی بخش مالی نیز باید از حساب استفاده کند!برنامه های مشتقات در اقتصاد برای تعیین و بهینه سازی استفاده می شود:

   عرضه و تقاضا ،

   سود و هزینه ، و

   درآمد و ضرر.

   • برنامه های مشتقات: مثال
   • راه اندازی یک موشک - نمونه های مرتبط با آن
   • دوربین شما از یک پد پرتاب موشک تنظیم شده است. موشک پرتاب می شود ، و هنگامی که به ارتفاع \ (1500ft \) برسد ، سرعت آن \ (500ft/s \) است. زاویه دوربین شما با زمین چه میزان باید تغییر کند تا به آن اجازه دهد موشک را در معرض دید خود قرار دهد؟
   1. راه حل :
   2. دوربین شما از پد پرتاب موشک \ (4000ft \) است. دو نرخ مرتبط - زاویه دوربین شما \ ((\ theta) \) و ارتفاع \ (h) \) موشک - با توجه به زمان \ ((t) \) در حال تغییر هستند.
   1. در اینجا ، \ (\ theta \) زاویه بین لنز دوربین شما و زمین است و \ (h \) ارتفاع موشک بالای زمین است.
      1. Going back to trig, you know that \( \sec(\theta) = \frac>> \).
      2. مشکل از شما می خواهد که وقتی موشک \ (1500ft \) بالاتر از زمین باشد ، میزان تغییر زاویه دوربین خود را به زمین پیدا کنید. هر دوی این متغیرها با توجه به زمان در حال تغییر هستند.
      3. این بدان معنی است که شما باید \ (\ frac \) را هنگام \ (h = 1500ft \) پیدا کنید. شما همچنین می دانید که سرعت موشک در آن زمان \ (\ frac = 500ft/s \) است.
      4. Therefore, when \( h = 1500ft \), \( \sec^ ( \theta ) \) is:\[ \begin\sec^(\theta) &= \left( \frac>>با نگاهی به تصویر خود در مرحله \ (1 \) ، ممکن است در مورد استفاده از یک معادله مثلثاتی فکر کنید. چه چیزی طرف های برعکس و مجاور یک مثلث راست را نشان می دهد؟عملکرد \ (\ tan \)!بنابراین ، شما: \ [\ tan (\ theta) = \ frac. \]<500 \sqrt>تنظیم مجدد برای حل برای \ (h \): \ [h = 4000 \ برنزه (\ theta).\]

      برای یافتن \ (\ frac \) ، ابتدا باید \ (\ sec^ (\ theta) \) را پیدا کنید. چطور می توانید این کار را انجام دهی؟

      و ، از Givens در این مشکل ، می دانید که \ (\ text = 4000ft \) و \ (\ text = h = 1500ft \).

      

      بنابراین ، شما می توانید از قضیه فیثاغورئی برای حل \ (\ text \) استفاده کنید.\ text & = 500 \ sqrtft. \ end \]

      سود و هزینه ، و

      1. \ راست)^ \\ & = \ frac. \ end \]
      2. برنامه مهندسی - مثال بهینه سازی
         1. شما یک مهندس کشاورزی هستید و باید یک منطقه مستطیل از زمین های کشاورزی را حصار کنید. یک طرف فضا توسط یک دیوار سنگی مسدود شده است ، بنابراین شما فقط برای سه طرف به شمشیربازی نیاز دارید. با توجه به اینکه شما فقط \ (1000ft \) حصارکشی دارید ، ابعادی که به شما امکان می دهد حداکثر مساحت را حصار کنید چیست؟حداکثر مساحت چیست؟
         2. ابعاد \ (x \) و \ (y \) را تعیین کنید که با استفاده از \ (1000ft \) حصارکشی مساحت زمین کشاورزی را به حداکثر می رساند.
         3. راه حل :
         1. بگذارید \ (x \) طول طرفهای مزرعه ای باشد که عمود بر دیوار سنگ اجرا می شود ، و اجازه دهید \ (y \) طول طرف زمین کشاورزی باشد که به موازات دیوار سنگی کار می کند. سپس مساحت زمین کشاورزی توسط معادله برای منطقه مستطیل داده می شود: \ [a = x \ cdot y.\]
            1. Since \( y = 1000 - 2x \), and you need \( x > 0 \) and \( y >از آنجا که می خواهید حداکثر منطقه ممکن را با توجه به محدودیت \ (1000ft \) شمشیربازی برای رفتن به اطراف محیط زمین کشاورزی پیدا کنید ، برای محیط محیط مستطیل به معادله ای نیاز دارید.
            2. فراموش نکنید که در نظر بگیرید که حصار فقط باید به اطراف \ (3 \) طرف های \ (4 \) برود!بنابراین ، معادله محدودیت شما این است: \ [2x + y = 1000. \]< 500. \]
            3. اکنون ، شما می خواهید این معادله را برای \ (y \) حل کنید تا بتوانید معادله منطقه را از نظر \ (x \) بازنویسی کنید: \ [y = 1000 - 2x.\]
               1. بازنویسی معادله منطقه ، شما دریافت می کنید: \ [\ begina & = x \ cdot y \\ a & = x \ cdot (1000 - 2x) \\ a & = 1000x - 2x^. \ end \]
               1. اول، می دانید که طول اضلاع زمین کشاورزی شما باید مثبت باشد، یعنی \( x \) و \( y \) نمی توانند اعداد منفی باشند.
                  1. 0 \)، سپس وقتی برای \( x \) حل می کنید، به دست می آورید: \[ x = \frac.\]
                  2. به حداقل رساندن \( y \)، به عنوان مثال، اگر \( y = 1 \)، می دانید که: \[ x
                  3. بنابراین، باید حداکثر مقدار \( A(x) \) را برای \( x \) در بازه باز \( (0, 500) \) تعیین کنید.
                     1. با این حال، نمی‌دانید که یک تابع لزوماً دارای حداکثر مقدار در بازه باز است، اما می‌دانید که یک تابع دارای مقدار حداکثر (و min) در بازه بسته است. بنابراین، باید تابع ناحیه \( A(x) = 1000x - 2x^ \) را در بازه بسته \( [0, 500] \) در نظر بگیرید.
                     2. از آنجایی که \( A(x) \) یک تابع پیوسته در یک بازه محدود و بسته است، می‌دانید که با قضیه مقدار شدید، مقادیر حداکثر و حداقل را خواهد داشت. این مقادیر شدید در نقاط پایانی و هر نقطه بحرانی رخ می دهد.

                     در نقاط پایانی، می دانید که \( A(x) = 0 \).

                     از آنجایی که ناحیه باید برای همه مقادیر \(x\) در بازه باز \( (0, 500)\ مثبت باشد، حداکثر باید در یک نقطه بحرانی رخ دهد. برای یافتن نقاط بحرانی، باید اولین مشتق \( A(x) \ را بگیرید، آن را برابر صفر قرار دهید و برای \( x\) حل کنید.\[ \beginA(x) &= 1000x - 2x^\\A'(x) &= 1000 - 4x \\0 &= 1000 - 4x \\x &= 250.\پایان \]

                     تنها نقطه بحرانی \( x = 250 \) است. بنابراین، حداکثر مساحت باید زمانی باشد که \( x = 250 \) باشد.< p < 100 \), the number of cars \( n \) that your company rent per day can be modeled using the linear function

                     با وصل کردن این مقدار به معادله محیطی، مقدار \( y \) این نقطه بحرانی را دریافت می کنید: \[ \beginy &= 1000 - 2x \\y &= 1000 - 2(250) \\y &= 500.\پایان \]

                     بنابراین، برای به حداکثر رساندن مساحت زمین کشاورزی، \(x = 250ft \) و \(y = 500ft\). مساحت \(125000ft^\) است. نمودار زیر این موضوع را به تصویر می کشد.

                     سود و هزینه ، و

                     1. کاربرد اقتصادی – مثال بهینه سازی
                     2. شما مدیر مالی یک شرکت اجاره خودرو هستید. متوجه شدید که اگر برای کرایه ماشین روزانه \( p \) دلار از مشتریان خود هزینه کنید، در آن \( 20
                        • اگر شرکت مبلغی معادل 20 دلار یا کمتر در روز بپردازد، آنها تمام خودروهای خود را اجاره خواهند کرد. اگر شرکت مبلغ 100 دلار در روز یا بیشتر بپردازد، هیچ خودرویی را اجاره نمی‌کند.
                     3. چقدر باید به صاحبان شرکت بگویید که خودروها را اجاره کنند تا درآمدشان به حداکثر برسد؟
                     4. راه حل :
                        • اجازه دهید \( p \) قیمتی باشد که برای هر خودروی کرایه ای در روز دریافت می شود. اجازه دهید \( n \) تعداد خودروهایی باشد که شرکت شما در روز اجاره می کند. اجازه دهید \( R \) درآمد کسب شده در روز باشد.
                     5. معادله ای پیدا کنید که هر سه این متغیرها را به هم مرتبط کند.
                        1. درآمد کسب شده در روز تعداد خودروهای کرایه شده در روز برابر قیمتی است که به ازای هر خودروی کرایه ای در روز دریافت می شود:\[ R = n \cdot p.\]
                           1. مقدار \( n \) را همانطور که در مسئله اصلی داده شد جایگزین کنید.\[ \beginR &= n \cdot p \\R &= (600 - 6p)p \\R &= -6p^ + 600p.\end\]
                           2. تعیین کنید دامنه شما چیست.
                              1. از آنجایی که قصد دارید به مالکان بگویید که روزانه بین \( $20 \) و \( $100\) برای هر خودرو شارژ کنند، باید حداکثر درآمد را برای \( p\) در بازه بسته \( [20, 100) پیدا کنید.] \).
                              2. حداکثر درآمد ممکن را با حداکثر کردن \( R(p) = -6p^ + 600p \) در بازه بسته \( [20, 100] \) بیابید.

                              از آنجایی که \( R(p) \) یک تابع پیوسته در یک بازه بسته و محدود است، می‌دانید که با قضیه مقدار شدید، مقادیر حداکثر و حداقل را خواهد داشت. این مقادیر شدید در نقاط پایانی و هر نقطه بحرانی رخ می دهد.