LOREM بسیار هویج ، توسعه دهنده چربی گوجه فرنگی. از ناراحتی که به نظر می رسد و از چه چیزی استقبال می شود ، تمایل به دستیابی به خردمندان ، برای به دست آوردن نفرت از لذت های Consectetur در هر حق زندگی متنفرید؟برخی از آنها در سمت راست خوش آمدید ، او را برای جلوگیری از لذت سوق می دهد ، حقیقت بلاندیتی منجر به حقیقت می شود ، مزیت یا ضروریات اینها شایسته است.

کلید های میانبر صفحه کلید

به F1 کمک کنید یا؟صفحه قبلی ← + (ویندوز) ← + ⌘ (مک) صفحه بعد → + Ctrl (ویندوز) → + ⌘ (مک) سایت جستجو Ctrl + Shift + F (ویندوز) ⌘ + ⇧ + F (MAC) بستن پیام ESC

3. 2. 2 - متغیرهای تصادفی دوتایی

متغیر باینری متغیری است که دو نتیجه ممکن دارد. به عنوان مثال ، جنس (مرد / زن) یا داشتن خال کوبی (بله / خیر) هر دو نمونه از یک متغیر طبقه بندی باینری هستند.

یک متغیر تصادفی را می توان با تعریف "موفقیت" و "شکست" به یک متغیر باینری تبدیل کرد. به عنوان مثال ، در نظر بگیرید که یک مرد شش طرفه عادلانه را در نظر بگیرید و ارزش صورت را ضبط کنید. متغیر تصادفی ، مقدار صورت باینری نیست. اگر ما علاقه مندیم ، با این حال ، در رویداد a = ، "موفقیت" در حال چرخش سه است. شکست هر مقدار برابر با سه خواهد بود. بنابراین ، ما می توانیم متغیر جدیدی با دو نتیجه ایجاد کنیم ، یعنی A = و B = یا. این متغیر جدید اکنون یک متغیر باینری است.

توزیع دوتایی

توزیع Binomial یک توزیع احتیاط ویژه ای است که در آن دو نتیجه مکمل مشخص "موفقیت" و "شکست" وجود دارد.

اگر همه چهار شرط زیر رضایت داشته باشند ، یک آزمایش دوتایی داریم:

1. این آزمایش شامل آزمایشات یکسان N است.
2. هر آزمایشی منجر به یکی از دو نتیجه می شود ، به نام موفقیت و شکست.
3. احتمال موفقیت ، مشخص شده P ، از محاکمه تا محاکمه یکسان است.
4. آزمایشات N مستقل است. یعنی نتیجه هر آزمایشی بر نتیجه دیگران تأثیر نمی گذارد.

اگر چهار شرط راضی باشد ، متغیر تصادفی \ (x \) = تعداد موفقیت در کارآزمایی \ (n \) ، یک متغیر تصادفی دوتایی با

علامت گذاری در مورد؟برخی از نمادهای مشترک برای "موفقیت" که ممکن است ببینید \ (P \) یا \ (\ p \) خواهد بود تا احتمال "موفقیت" و معمولاً \ (q = 1-p \) را نشان دهد تا احتمال آن را نشان دهد "شکست".\ (\ pi \) همان چیزی است که در متن استفاده می شود."موفقیت" به عنوان هر آنچه که محقق تصمیم می گیرد تعریف می شود ... نه فقط یک نتیجه مثبت. نماد \ (\ pi \) این است که این مورد مقدار عددی 3. 14 را ارجاع نمی دهد

\ (p \ ؛ (یا \ pi) \) = احتمال موفقیت

مثال 3-5: بخش محکومیت های قبلی

بیایید از مثال صفحه قبلی با بررسی تعداد محکومیت های قبلی زندانیان در زندان ایالتی که 500 زندانی در آن حضور داشتند ، استفاده کنیم."موفقیت" را تعریف کنید تا رویدادی باشد که یک زندانی محکومیت قبلی نداشته باشد.\ (P \) و \ (1-p \) را پیدا کنید.

پاسخ

اجازه موفقیت = بدون اولویت (0)

اجازه دهید شکست = قبلی (1 ، 2 ، 3 یا 4)

با نگاهی به مثال ما ، می توانیم آن را پیدا کنیم:

مثال 3-6: بخش بررسی جرم

یک بررسی FBI نشان می دهد که حدود 80 ٪ از کل جرایم املاک حل نشده است. فرض کنید که در شهر شما 3 چنین جنایاتی مرتکب شده و هر یک از آنها مستقل از یکدیگر تلقی می شوند. این احتمال وجود دارد که 1 از 3 این جنایات حل شود؟

اول ، ما باید تعیین کنیم که آیا این وضعیت هر چهار شرط یک آزمایش دوتایی را برآورده می کند:

1. آیا تعداد مشخصی از آزمایشات را برآورده می کند؟بله تعداد آزمایشات در 3 ثابت است (3 نفر)
2. آیا فقط 2 نتیجه دارد؟بله (حل شده و حل نشده)
3. آیا همه آزمایشات احتمال موفقیت یکسان دارند؟بله (P = 0. 2)
4. آیا همه جنایات مستقل هستند؟بله (در توضیحات بیان شده است.)

برای یافتن این احتمال که تنها 1 مورد از 3 جرم حل شود ، ابتدا این احتمال را پیدا می کنیم که یکی از جنایات حل شود. با سه واقعه چنین (جرم) سه سکانس وجود دارد که فقط یک نفر در آن حل می شود:

• اول حل شده ، دوم حل نشده ، سوم حل نشده = (0. 2) (0. 8) (0. 8) = 0. 128
• اول حل نشده ، حل نشده دوم ، سوم حل نشده = (0. 8) (0. 2) (0. 8) = 0. 128
• اول حل نشده ، دوم حل نشده ، سوم (0. 8) (0. 8) (0. 2) = 0. 128 حل شد

ما این 3 احتمال را برای دریافت 0. 384 اضافه می کنیم. با نگاهی به این از دیدگاه فرمول ، ما سه سکانس ممکن داریم که هر کدام شامل یک رویداد حل شده و دو رویداد حل نشده است. کنار هم قرار دادن این موارد زیر را به ما می دهد: \ (3 (0. 2) (0. 8)^2 = 0. 384 \)

مثال بالا و فرمول آن انگیزه فرمول دوتایی برای یافتن احتمالات دقیق را نشان می دهد.

برای یک متغیر تصادفی دوتایی با احتمال موفقیت ، \ (p \) و \ (n \) آزمایشات.

یادداشتی در مورد نماد!نقطه تعجب (!) در ریاضیات برای نشان دادن عملیات فاکتوریل استفاده می شود. فاکتوریل یک عدد به معنای گرفتن آن شماره و ضرب آن توسط هر شماره قبل از آن است - به یک (به استثنای 0). به عنوان مثال ، 3!= 3 × 2 × 1 = 6 به یاد داشته باشید 1!= 1 به یاد 0!= 1

نمایشگرهای گرافیکی بخش توزیع دوتایی

فرمول تعریف شده در بالا عملکرد جرم احتمال ، PMF ، برای دوتایی است. ما می توانیم احتمالات را برای هر \ (n \) و \ (p \) نمودار کنیم. توزیع های زیر نشان می دهد که چگونه نمودارها با یک N و احتمالات مختلف تغییر می کنند.

مثال 3-7: بررسی جرم ادامه داشت. بخش

برای مثال بررسی جنایات FBI ، احتمال حل حداقل یکی از جنایات چیست؟

پاسخ

در اینجا ما به دنبال حل \ (p (x \ ge 1) \) هستیم.

دو راه برای حل این مشکل وجود دارد: راه طولانی و راه کوتاه.

راه طولانی برای حل برای \ (p (x \ ge 1) \). این برای حل \ (p (x = 1)+p (x = 2)+p (x = 3) \) به شرح زیر است:

ما تمام احتمالات فوق را اضافه می کنیم و 0. 488 می گیریم. یا. ما می توانیم با استفاده از قانون مکمل ، راه کوتاه را انجام دهیم. در اینجا مکمل \ (p (x \ ge 1) \) برابر با \ (1 - p (x) است< 1)\) which is equal to \(1 - P(X = 0)\). We have carried out this solution below.

در چنین شرایطی که سه جنایت اتفاق می افتد ، ارزش مورد انتظار و انحراف استاندارد از جنایاتی که حل نشده است چیست؟در اینجا ما فرمول ها را برای مقدار مورد انتظار و انحراف استاندارد یک دوتایی اعمال می کنیم.

توجه: x فقط می تواند مقادیر 0 ، 1 ، 2 ، را بگیرد. n ، اما مقدار مورد انتظار (میانگین) x ممکن است مقداری غیر از مقادیر دیگری باشد که توسط X فرض شود.

مثال 3-8: بخش لقاح متقابل

بارور متقابل یک گل قرمز و یک گل سفید 25 ٪ از زمان گل های قرمز تولید می کند. اکنون ما پنج جفت گل قرمز و سفید را بارور می کنیم و پنج فرزند تولید می کنیم. این احتمال را پیدا کنید که هیچ گیاه قرمز گل در پنج فرزند وجود نخواهد داشت.

پاسخ

y = # گیاهان گل قرمز در پنج فرزند. در اینجا ، تعداد گیاهان گل قرمز دارای توزیع دوتایی با \ (n = 5 ، p = 0. 25 \) است.